Atelierul Radicalilor

Rădăcina pătrată, modulul, scoaterea și introducerea factorilor, comparări și cele patru operații cu radicali. Clasa a VII-a.

1Rădăcina pătrată

√a este numărul pozitiv care, înmulțit cu el însuși, dă a. Gândește-te la un pătrat: dacă știi aria, rădăcina pătrată îți dă latura.

Aria: pătrățele Latura:

Pătratele perfecte de știut pe de rost

Un număr care nu e în tabel (de exemplu 50) nu are rădăcina număr natural, dar o putem încadra: 49 < 50 < 64, deci 7 < √50 < 8.

2Modulul

|x| este distanța de la x până la 0 pe axă. O distanță nu e niciodată negativă: |−4| = 4, |4| = 4, |0| = 0.

√a² = |a|Rădăcina unui pătrat dă modulul: √(−5)² = |−5| = 5, nu −5.
|2 − √5| = √5 − 2Compari: 2 = √4 < √5, deci 2 − √5 e negativ și modulul îi schimbă semnul.

3Scoaterea factorilor de sub radical

Descompunem numărul în factori primi. Factorii care apar în perechi ies de sub radical, câte unul din fiecare pereche. Ce rămâne singur stă sub radical.

4Introducerea factorilor sub radical

E drumul invers: factorul din față intră sub radical ridicat la pătrat. Se folosește ca să compari numere sau să simplifici calcule.

factorul
3
sub radical
2

−3√2 = −√18Minusul nu intră sub radical. Intră doar 3, ridicat la pătrat.

5Adunări și scăderi

Putem aduna doar radicali asemenea, adică cu același număr sub radical. Se adună numerele din față, radicalul rămâne neschimbat. E ca la fructe:

3√2 + 5√2 = 8√23 mere + 5 mere = 8 mere.
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2Par diferiți, dar după scoaterea factorilor devin asemenea.
√9 + √16 ≠ √25Capcană: 3 + 4 = 7, nu 5. Numerele de sub radical nu se adună între ele.
√2 + √3Mere + pere: nu se pot aduna. Rezultatul rămâne scris așa.

6Înmulțiri și împărțiri

Aici e invers față de adunare: orice radicali se pot înmulți și împărți. Numerele din față se înmulțesc între ele, cele de sub radical între ele.

√a · √b = √a · b√2 · √8 = √16 = 4
√a : √b = √a : b√72 : √2 = √36 = 6
2√3 · 5√6 = 10√18 = 30√22 · 5 = 10 și √3 · √6 = √18 = 3√2. La final scoți mereu factorii.
12√10 : 4√5 = 3√212 : 4 = 3 și √10 : √5 = √2.

7Comparări

Cel mai sigur drum: scrii ambele numere ca radicali și compari numerele de sub radical. Cu cât e mai mare numărul de sub radical, cu atât e mai mare radicalul.

√17 < √19Doi radicali: compari direct 17 cu 19.
4 > √15Număr natural: îl faci radical. 4 = √16, iar 16 > 15.
3√5 < 5√2Introduci factorii: 3√5 = √45 și 5√2 = √50. Apoi 45 < 50.
√2 > 1,4Număr cu virgulă: ridici ambele la pătrat. (√2)² = 2 și 1,4² = 1,96. Cum 2 > 1,96, √2 e mai mare.

Ordonarea a trei numere

2√3, 3√2, 4 → le scrii ca radicali: √12, √18, √16 → compari 12 < 16 < 18 → 2√3 < 4 < 3√2